Trójkąt prostokątny 5, 12, 13 z kołem wpisanym - pole części trójkąta poza kołem

Krok 1. Przeciwprostokątna. Z twierdzenia Pitagorasa:

$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13.$

Krok 2. Pole trójkąta.

$P_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30.$

Uwaga na $\frac{1}{2}$: iloczyn przyprostokątnych $5 \cdot 12 = 60$ to pole prostokąta, a nie trójkąta.

Krok 3. Promień koła wpisanego. Ze wzoru $P = p \cdot r$, gdzie $p$ to połowa obwodu:

$p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15, \qquad r = \frac{P}{p} = \frac{30}{15} = 2.$

Kontrola wzorem dla trójkąta prostokątnego: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{5 + 12 - 13}{2} = 2$.

Krok 4. Pole koła. $P_{\circ} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Krok 5. Pole zacieniowane.

$P = 30 - 4\pi \approx 30 - 12{,}57 = 17{,}43.$

Odpowiedź. Poza kołem leży część trójkąta o polu $30 - 4\pi \approx 17{,}43$.