Księżyce Hipokratesa na kwadracie o boku 4 wpisanym w okrąg - pole czterech księżyców

Krok 1. Promień okręgu opisanego. Średnicą okręgu opisanego na kwadracie jest przekątna:

$d = 4\sqrt{2}, \qquad R = 2\sqrt{2}, \qquad P_{\text{koła}} = \pi R^2 = 8\pi.$

Krok 2. Pola półkoli. Każde ma promień $2$:

$4 \cdot \frac{1}{2}\pi \cdot 2^2 = 8\pi.$

Krok 3. Co leży poza kwadratem w kole. Koło bez kwadratu to cztery odcinki koła (między bokami a okręgiem):

$P_{\text{odcinków}} = 8\pi - 4^2 = 8\pi - 16.$

Krok 4. Księżyce. Każde półkole składa się z księżyca i jednego z tych odcinków koła (odcinek leży po tej samej stronie boku co półkole). Stąd

$P_{\text{księżyców}} = 8\pi - (8\pi - 16) = 16.$

Krok 5. Interpretacja. Liczba $\pi$ się skróciła: łączne pole księżyców jest równe polu kwadratu, $4^2 = 16$. To ten sam efekt co w księżycach Hipokratesa na trójkącie prostokątnym - półkola na bokach mają razem tyle samo pola co koło opisane. Jeden księżyc ma pole $4$, czyli tyle, ile trójkąt $ABO$.

Odpowiedź. Łączne pole czterech księżyców wynosi $16$ - dokładnie tyle, ile pole kwadratu.