Kwiatek w kwadracie - cztery półkola na bokach kwadratu o boku 6, pole płatków

Krok 1. Każde półkole przechodzi przez środek kwadratu. Promień półkola to $3$, a środek kwadratu leży w odległości $3$ od środka każdego boku. Dlatego sąsiednie półkola przecinają się w wierzchołku kwadratu i w jego środku.

Krok 2. Metoda 1 - suma półkoli. Cztery półkola razem pokrywają cały kwadrat, przy czym płatki są pokryte dwa razy (należą do dwóch półkoli), a reszta kwadratu - raz. Zatem

$4 \cdot \frac{1}{2}\pi \cdot 3^2 = P_{\square} + P_{\text{płatków}}.$

$18\pi = 36 + P_{\text{płatków}} \quad\Longrightarrow\quad P_{\text{płatków}} = 18\pi - 36.$

Krok 3. Metoda 2 - płatek z odcinków koła. Przekątna dzieli płatek na dwa odcinki koła o promieniu $3$ i kącie $90^\circ$. Jeden odcinek to ćwiartka koła minus trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$:

$\frac{1}{4} \cdot 9\pi - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2}.$

Osiem takich odcinków (cztery płatki po dwa):

$8\left(\frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2}\right) = 18\pi - 36.$

Obie metody dają ten sam wynik.

Krok 4. Przybliżenie. $18\pi - 36 \approx 56{,}55 - 36 = 20{,}55$.

Odpowiedź. Łączne pole płatków wynosi $18\pi - 36 \approx 20{,}55$.