Liczba odwrotna: odwrotność 1 + 2√2

Krok 1. Zapisujemy odwrotność:

$\frac{1}{1 + 2\sqrt{2}}.$

Krok 2. Mnożymy przez sprzężenie $1 - 2\sqrt{2}$. W mianowniku ze wzoru $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, pamiętając, że $\left(2\sqrt{2}\right)^2 = 2^2 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^2 = 4 \cdot 2 = 8$:

$\frac{1}{1 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{1 - 2\sqrt{2}}{1 - 2\sqrt{2}} = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{1^2 - \left(2\sqrt{2}\right)^2} = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{1 - 8} = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{-7}.$

Krok 3. Dzielimy przez $-7$ (zmieniamy znaki i rozdzielamy ułamek):

$\frac{-1 + 2\sqrt{2}}{7} = -\frac{1}{7} + \frac{2}{7}\sqrt{2}.$

Odpowiedź. Odwrotnością liczby $1 + 2\sqrt{2}$ jest $-\dfrac{1}{7} + \dfrac{2}{7}\sqrt{2}$.