Liczba przekątnych wielokąta

Krok 1. Skąd wzór. Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n - 3$ przekątnych (nie liczymy samego wierzchołka i dwóch sąsiadów). Każdą przekątną policzylibyśmy dwukrotnie - raz z każdego końca - więc dzielimy przez $2$:

$d = \frac{n(n - 3)}{2}.$

Krok 2. Dziesięciokąt ($n = 10$):

$d = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35.$

Krok 3. Zadanie odwrotne. Szukamy $n$, dla którego $d = 54$:

$\frac{n(n - 3)}{2} = 54 \quad\Longrightarrow\quad n^2 - 3n - 108 = 0.$

Krok 4. Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$\Delta = 9 + 432 = 441, \qquad \sqrt{\Delta} = 21,$

$n_1 = \frac{3 - 21}{2} = -9, \qquad n_2 = \frac{3 + 21}{2} = 12.$

Liczba boków musi być dodatnia, więc $n = 12$.

Odpowiedź. Dziesięciokąt ma $35$ przekątnych; $54$ przekątne ma dwunastokąt.