Ile boków ma wielokąt foremny o kącie 162°?

Krok 1. Przechodzimy na kąty zewnętrzne. To najkrótsza droga: kąt zewnętrzny to

$180^\circ - 162^\circ = 18^\circ.$

Krok 2. Korzystamy z sumy kątów zewnętrznych (zawsze $360^\circ$):

$n = \frac{360^\circ}{18^\circ} = 20.$

Krok 3. Sprawdzenie drugą metodą.

$\frac{(20 - 2) \cdot 180^\circ}{20} = \frac{3240^\circ}{20} = 162^\circ.$

Krok 4. Druga część zadania. Dla kąta $130^\circ$ kąt zewnętrzny wynosi $50^\circ$, a wtedy

$n = \frac{360^\circ}{50^\circ} = 7{,}2.$

Liczba boków musi być liczbą całkowitą, więc taki wielokąt foremny nie istnieje.

Odpowiedź. Wielokąt ma $20$ boków; wielokąt foremny o kącie wewnętrznym $130^\circ$ nie istnieje.