Monotoniczność logarytmu: porównanie log₀,₅4 i log₀,₅9

Krok 1. Sprawdzamy podstawę. Podstawa wynosi $0{,}5$, czyli leży między $0$ a $1$. Funkcja logarytmiczna o takiej podstawie jest malejąca: im większa liczba logarytmowana, tym mniejsza wartość logarytmu.

Krok 2. Porównujemy. Ponieważ $4 < 9$, to

$\log_{0,5} 4 > \log_{0,5} 9.$

Krok 3. Obliczamy $\log_{0,5} 4$ z definicji. Szukamy wykładnika $k$ takiego, że

$(0{,}5)^k = 4.$

Ponieważ $0{,}5 = 2^{-1}$, mamy $(2^{-1})^k = 2^{-k} = 2^2$, czyli $-k = 2$ i $k = -2$:

$\log_{0,5} 4 = -2.$

Krok 4. Sprawdzenie zgodności. Analogicznie $\log_{0,5} 9 = -\log_2 9 \approx -3{,}17$, a rzeczywiście $-2 > -3{,}17$ - porównanie z kroku 2 się potwierdza.

Odpowiedź. $\log_{0,5} 4 > \log_{0,5} 9$, przy czym $\log_{0,5} 4 = -2$.