Suma krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego 40 - wysokość ostrosłupa

Krok 1. Oznaczenia i równanie. Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, $b = a + 2$ - krawędzią boczną. Ostrosłup czworokątny ma $4$ krawędzie podstawy i $4$ krawędzie boczne:

$4a + 4(a + 2) = 40 \quad\Longrightarrow\quad 8a = 32 \quad\Longrightarrow\quad a = 4, \quad b = 6.$

Krok 2. Wysokość ostrosłupa. Spodek $O$ to środek kwadratu, $|OA| = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$. Z trójkąta prostokątnego $SOA$:

$H = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.$

Krok 3. Wysokość ściany bocznej. $E$ to środek krawędzi $BC$, $|EB| = 2$. W trójkącie równoramiennym $SBC$:

$h = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.$

Krok 4. Sprawdzenie przez trójkąt SOE ($|OE| = 2$): $H^2 + 2^2 = 28 + 4 = 32 = h^2$. $\checkmark$

Odpowiedź. Wysokość ostrosłupa jest równa $2\sqrt{7}$, a wysokość ściany bocznej $4\sqrt{2}$.