Ile danych leży w przedziale od średniej minus sigma do średniej plus sigma

Krok 1. Średnia. Suma wyników wynosi $52 + 55 + 58 + 60 + 60 + 61 + 62 + 64 + 66 + 72 = 610$:

$$\bar{x} = \frac{610}{10} = 61.$$

Krok 2. Odchylenia od średniej: $-9, -6, -3, -1, -1, 0, 1, 3, 5, 11$ (suma $0$ - sprawdzenie).

Krok 3. Kwadraty odchyleń: $81, 36, 9, 1, 1, 0, 1, 9, 25, 121$, razem $284$.

Krok 4. Wariancja i odchylenie:

$$\sigma^2 = \frac{284}{10} = 28{,}4, \qquad \sigma = \sqrt{28{,}4} \approx 5{,}33.$$

Krok 5. Przedział (część b):

$$\bar{x} - \sigma \approx 61 - 5{,}33 = 55{,}67, \qquad \bar{x} + \sigma \approx 61 + 5{,}33 = 66{,}33.$$

Krok 6. Liczymy wyniki w przedziale. Do przedziału $\langle 55{,}67; \; 66{,}33 \rangle$ należą: $58, 60, 60, 61, 62, 64, 66$ - to $7$ wyników. Poza nim są $52$, $55$ i $72$.

$$\frac{7}{10} \cdot 100\% = 70\%.$$

Interpretacja. Odchylenie standardowe to typowa odległość wyniku od średniej. W odległości co najwyżej jednego odchylenia od średniej leży zwykle większość danych - tutaj $70\%$, co jest bliskie „około dwóch trzecich”, typowych dla danych o kształcie dzwonu.

Odpowiedź. a) $\bar{x} = 61$, $\sigma \approx 5{,}33$. b) $70\%$ uczniów.