Dwaj rowerzyści jadą naprzeciw siebie: spotkanie po 2 h, różnica przyjazdów 1 h 40 min

Krok 1. Niewiadome i warunki. Niech $v_1$, $v_2$ - prędkości rowerzystów (w km/h), $v_1 > 0$, $v_2 > 0$.

Krok 2. Spotkanie. Jadą naprzeciw siebie, więc w ciągu $2$ godzin razem pokonali całą odległość:

$2v_1 + 2v_2 = 60 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = 30 - v_1$

Z warunku $v_2 > 0$ wynika $v_1 < 30$.

Krok 3. Różnica czasów. $1$ h $40$ min $= 1\frac{2}{3}$ h $= \frac{5}{3}$ h. Pierwszy jechał dłużej:

$\dfrac{60}{v_1} - \dfrac{60}{30 - v_1} = \dfrac{5}{3}$

Krok 4. Mnożymy przez $3v_1(30 - v_1)$:

$180(30 - v_1) - 180v_1 = 5v_1(30 - v_1) \quad\Longrightarrow\quad 5400 - 360v_1 = 150v_1 - 5v_1^2$

$5v_1^2 - 510v_1 + 5400 = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_1^2 - 102v_1 + 1080 = 0$

Krok 5. Rozwiązujemy.

$\Delta = 102^2 - 4 \cdot 1080 = 10404 - 4320 = 6084, \qquad \sqrt{\Delta} = 78$

$v_1 = \dfrac{102 - 78}{2} = 12 \quad \text{lub} \quad v_1 = \dfrac{102 + 78}{2} = 90$

Krok 6. Warunki. $v_1 = 90$ jest dodatnie, ale nie spełnia $v_1 < 30$ - wtedy $v_2 = 30 - 90 = -60$, a takiej prędkości nie ma (w równaniu „czas” drugiego wyszedłby ujemny: $60 : (-60) = -1$ h). Zostaje $v_1 = 12$, a $v_2 = 30 - 12 = 18$.

Krok 7. Sprawdzenie z treścią. Po $2$ h: $24 + 36 = 60$ km. Pierwszy jedzie całą trasę $60 : 12 = 5$ h, drugi $60 : 18 = 3\frac{1}{3}$ h $= 3$ h $20$ min. Różnica: $1$ h $40$ min.

Odpowiedź. Pierwszy rowerzysta jechał z prędkością $12$ km/h, drugi z prędkością $18$ km/h.

Uwaga: odrzucony wynik $v_1 = 90$ jest dodatni, więc samo „odrzucamy ujemne” by go nie wyeliminowało. Wyklucza go dopiero warunek $v_2 > 0$, przeniesiony na $v_1 < 30$ w kroku 2.