Dwie koparki: pierwsza zaczyna sama, druga dołącza później

Krok 1. Niewiadoma i warunek. Niech $x$ - czas pierwszej koparki (w godzinach), $x > 0$. Druga potrzebuje $x + 8$ godzin.

Krok 2. Ile zrobiła każda koparka. Pierwsza pracowała łącznie $2 + 1{,}5 = 3{,}5$ godziny, druga tylko $1{,}5$ godziny:

Krok 3. Równanie. Razem wykonały cały wykop, czyli $1$:

$\dfrac{3{,}5}{x} + \dfrac{1{,}5}{x+8} = 1$

Krok 4. Mnożymy przez $2x(x + 8)$, żeby pozbyć się ułamków dziesiętnych:

$7(x + 8) + 3x = 2x(x + 8) \quad\Longrightarrow\quad 10x + 56 = 2x^2 + 16x \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 3x - 28 = 0$

Krok 5. Rozwiązujemy.

$(x + 7)(x - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -7 \ \text{ lub } \ x = 4$

$x = -7$ odpada (czas ujemny). Zostaje $x = 4$, a druga koparka potrzebuje $4 + 8 = 12$ godzin.

Krok 6. Sprawdzenie z treścią. Pierwsza w $3{,}5$ h wykonuje $\frac{3{,}5}{4} = \frac{7}{8}$ wykopu, druga w $1{,}5$ h - $\frac{1{,}5}{12} = \frac{1}{8}$. Razem $\frac{7}{8} + \frac{1}{8} = 1$.

Odpowiedź. Pierwsza koparka wykonałaby wykop w $4$ godziny, druga w $12$ godzin.

Uwaga: pierwsza koparka pracowała $3{,}5$ godziny, a nie $2$ - kontynuowała pracę także po dołączeniu drugiej. Wpisanie $\frac{2}{x}$ zamiast $\frac{3{,}5}{x}$ to najczęstszy błąd w tym typie zadań.