Ułamek, którego licznik jest o 3 mniejszy od mianownika - po dodaniu 2 rośnie o 1/4

Krok 1. Niewiadoma i warunki. Niech $n$ - mianownik. Licznik to $n - 3$. Z treści $n - 3$ i $n$ są liczbami naturalnymi, a mianownik dodatni, więc $n \geq 3$ i $n$ całkowite.

Ułamek przed zmianą: $\frac{n-3}{n}$, po zmianie: $\frac{n - 3 + 2}{n + 2} = \frac{n-1}{n+2}$.

Krok 2. Równanie. Nowy ułamek jest o $\frac{1}{4}$ większy:

$\dfrac{n-1}{n+2} - \dfrac{n-3}{n} = \dfrac{1}{4}$

Krok 3. Lewa strona jako jeden ułamek (wspólny mianownik $n(n + 2)$):

$\dfrac{n(n-1) - (n-3)(n+2)}{n(n+2)} = \dfrac{n^2 - n - (n^2 - n - 6)}{n(n+2)} = \dfrac{6}{n(n+2)}$

Krok 4. Rozwiązujemy $\frac{6}{n(n+2)} = \frac{1}{4}$, czyli $n(n + 2) = 24$:

$n^2 + 2n - 24 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (n + 6)(n - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad n = -6 \ \text{ lub } \ n = 4$

Krok 5. Warunki. Dla $n = -6$ równanie jest spełnione ($\frac{-7}{-4} - \frac{-9}{-6} = \frac{7}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{4}$), ale licznik $-9$ i mianownik $-6$ nie są liczbami naturalnymi - odrzucamy. Zostaje $n = 4$.

Krok 6. Sprawdzenie z treścią. Ułamek $\frac{1}{4}$: licznik o $3$ mniejszy od mianownika. Po dodaniu po $2$: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, a $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

Odpowiedź. Szukany ułamek to $\dfrac{1}{4}$.

Uwaga: drugie rozwiązanie nie jest tu „błędem rachunku” - spełnia równanie. Odpada wyłącznie przez warunek z treści (liczby naturalne). Dlatego warunki zapisujemy w kroku 1, zanim zaczniemy liczyć.