Pociąg nadrabia 12 minut opóźnienia na trasie 60 km

Krok 1. Niewiadoma i warunek. Niech $v$ - planowa prędkość pociągu (w km/h), $v > 0$. Rzeczywista prędkość to $v + 10$.

Krok 2. Jednostki. Prędkość jest w km/h, więc czas liczymy w godzinach: $12 \text{ min} = \frac{12}{60} \text{ h} = \frac{1}{5} \text{ h}$.

Krok 3. Równanie. Planowy czas przejazdu to $\frac{60}{v}$, rzeczywisty $\frac{60}{v+10}$. Pociąg jechał krócej dokładnie o czas opóźnienia:

$\dfrac{60}{v} - \dfrac{60}{v+10} = \dfrac{1}{5}$

Krok 4. Mnożymy przez $5v(v + 10)$:

$300(v + 10) - 300v = v(v + 10) \quad\Longrightarrow\quad 3000 = v^2 + 10v \quad\Longrightarrow\quad v^2 + 10v - 3000 = 0$

Krok 5. Rozwiązujemy.

$\Delta = 100 + 12000 = 12100, \qquad \sqrt{\Delta} = 110, \qquad v = \dfrac{-10 - 110}{2} = -60 \quad \text{lub} \quad v = \dfrac{-10 + 110}{2} = 50$

Krok 6. Warunki. $v = -60$ odpada (prędkość musi być dodatnia). Zostaje $v = 50$.

Krok 7. Sprawdzenie z treścią. Według rozkładu: $60 : 50 = 1{,}2$ h $= 72$ min. W rzeczywistości: $60 : 60 = 1$ h $= 60$ min. Różnica to $12$ minut.

Odpowiedź. Według rozkładu pociąg miał jechać z prędkością $50$ km/h (pojechał $60$ km/h).

Uwaga: wpisanie po prawej stronie liczby $12$ zamiast $\frac{1}{5}$ miesza minuty z godzinami. Daje równanie $v^2 + 10v - 50 = 0$ i prędkość około $3{,}7$ km/h - wolniej niż piechur, co powinno od razu zapalić czerwoną lampkę.