Prostokąt o polu 48 cm²: jeden bok o 2 cm dłuższy, drugi o 2 cm krótszy

Krok 1. Niewiadoma i warunki. Niech $a$ - długość boku, który wydłużamy (w cm), $a > 0$. Z pola wynika, że drugi bok ma długość $\frac{48}{a}$. Po skróceniu ma on mieć dodatnią długość: $\frac{48}{a} - 2 > 0$, czyli $a < 24$.

Krok 2. Równanie. Pole nowego prostokąta:

$(a + 2)\left(\dfrac{48}{a} - 2\right) = 40$

Krok 3. Wymnażamy nawias.

$48 - 2a + \dfrac{96}{a} - 4 = 40 \quad\Longrightarrow\quad -2a + \dfrac{96}{a} + 4 = 0$

Krok 4. Mnożymy przez $a \neq 0$ i dzielimy przez $-2$:

$-2a^2 + 4a + 96 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - 2a - 48 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (a - 8)(a + 6) = 0$

Krok 5. Warunki. $a = -6$ odpada (długość ujemna). $a = 8$ spełnia $0 < a < 24$, a drugi bok ma długość $\frac{48}{8} = 6$ cm.

Krok 6. Sprawdzenie z treścią. $8 \cdot 6 = 48$, a po zmianie $(8 + 2)(6 - 2) = 10 \cdot 4 = 40$.

Odpowiedź. Wyjściowy prostokąt ma boki $8$ cm i $6$ cm (wydłużamy bok $8$ cm, skracamy bok $6$ cm).

Uwaga: kolejność boków ma znaczenie. Gdyby wydłużyć bok $6$ cm, a skrócić bok $8$ cm, pole wyniosłoby $8 \cdot 6 = 48$, czyli nie zmieniłoby się. Odpowiedź musi więc mówić, który bok się wydłuża.