Równanie dwukwadratowe: x⁴ − 13x² + 36 = 0

Krok 1. Podstawienie. Równanie zawiera tylko $x^4 = (x^2)^2$ i $x^2$. Niech $t = x^2$, przy czym $t \ge 0$ (kwadrat nie może być ujemny):

$t^2 - 13t + 36 = 0.$

Krok 2. Równanie kwadratowe z niewiadomą $t$.

$\Delta = 169 - 144 = 25, \qquad t_1 = \frac{13 - 5}{2} = 4, \qquad t_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9.$

Oba rozwiązania są nieujemne, więc oba zostają.

Krok 3. Powrót do $x$.

$x^2 = 4 \ \Longrightarrow\ x = -2 \ \text{lub}\ x = 2, \qquad x^2 = 9 \ \Longrightarrow\ x = -3 \ \text{lub}\ x = 3.$

Gdyby któreś $t$ wyszło ujemne, odrzucilibyśmy je - równanie $x^2 = -1$ nie ma rozwiązań.

Odpowiedź. $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$.