Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego - krawędź podstawy 6, krawędź boczna 5

Krok 1. Spodek wysokości. W ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości $O$ to środek trójkąta równobocznego $ABC$. Odległość $|AO|$ to promień okręgu opisanego na podstawie, czyli $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta:

$|AO| = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$

Krok 2. Wysokość ostrosłupa. Trójkąt $SOA$ jest prostokątny, a krawędź $SA$ jest przeciwprostokątną:

$H = \sqrt{5^2 - \left(2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{25 - 12} = \sqrt{13}.$

Krok 3. Objętość. Pole podstawy to $\frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$:

$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{39} \approx 18{,}7.$

Odpowiedź. $V = 3\sqrt{39} \approx 18{,}7$.