Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego z dłuższej przekątnej

Krok 1. Dłuższa przekątna podstawy. Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$, a jego dłuższa przekątna $AD$ przechodzi przez środek i składa się z dwóch boków takich trójkątów:

$|AD| = 2a = 4.$

Krok 2. Wysokość. Dłuższa przekątna graniastosłupa $AD_1$, przekątna podstawy $AD$ i krawędź boczna $DD_1$ tworzą trójkąt prostokątny:

$H = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3.$

Krok 3. Pole podstawy i objętość.

$P_p = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}, \qquad V = P_p \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot 3 = 18\sqrt{3} \approx 31{,}2.$

Odpowiedź. $V = 18\sqrt{3} \approx 31{,}2$.