Parametr a w funkcji (x² + a)³, dla którego f′(1) = 24

Krok 1. Pochodna z parametrem. Zewnętrzna: $u^3$, pochodna $3u^2$. Wewnętrzna: $u = x^2 + a$, pochodna $2x$ (parametr $a$ jest stałą, więc jego pochodna to $0$):

$f'(x) = 3(x^2 + a)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + a)^2.$

Krok 2. Warunek $f'(1) = 24$.

$6 \cdot 1 \cdot (1 + a)^2 = 24 \iff (1 + a)^2 = 4 \iff 1 + a = 2 \ \lor\ 1 + a = -2.$

Stąd $a = 1$ lub $a = -3$. Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania - nie wolno zgubić pierwiastka ujemnego.

Krok 3. Sprawdzenie. Dla $a = 1$: $f'(1) = 6 \cdot 2^2 = 24$. Dla $a = -3$: $f'(1) = 6 \cdot (-2)^2 = 24$. Obie wartości są dobre.

Krok 4. Miejsca zerowe pochodnej dla $a = 1$. $f'(x) = 6x(x^2 + 1)^2$. Czynnik $(x^2 + 1)^2$ jest zawsze dodatni, więc $f'(x) = 0$ tylko dla $x = 0$.

Krok 5. Miejsca zerowe pochodnej dla $a = -3$. $f'(x) = 6x(x^2 - 3)^2$. Zeruje się, gdy $x = 0$ albo $x^2 = 3$, czyli $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$, $x = \sqrt{3}$.

Krok 6. Co z tego wynika? Dla $a = -3$ w punktach $\pm\sqrt{3}$ czynnik $(x^2 - 3)^2$ nie zmienia znaku, więc pochodna zmienia znak tylko w zerze. W obu przypadkach jedynym ekstremum jest minimum w $x = 0$ - pozostałe miejsca zerowe pochodnej to punkty z poziomą styczną bez ekstremum.

Odpowiedź. a) $a = 1$ lub $a = -3$; b) dla $a = 1$: $x = 0$; dla $a = -3$: $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$, $x = \sqrt{3}$.