Złożenia f(g(x)) i g(f(x)) - wzory i ich pochodne

Krok 1. Złożenie $f\big(g(x)\big)$. W miejsce $x$ we wzorze $f$ wstawiamy całe $g(x)$:

$h_1(x) = \big(2x + 1\big)^2 - 3 = 4x^2 + 4x - 2.$

Krok 2. Złożenie $g\big(f(x)\big)$. Teraz w miejsce $x$ we wzorze $g$ wstawiamy $f(x)$:

$h_2(x) = 2\big(x^2 - 3\big) + 1 = 2x^2 - 5.$

Wzory są różne - składanie funkcji nie jest przemienne.

Krok 3. Pochodna $h_1$ z reguły łańcuchowej. Zewnętrzna $f(u) = u^2 - 3$, $f'(u) = 2u$; wewnętrzna $g(x) = 2x + 1$, $g'(x) = 2$:

$h_1'(x) = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x) = 2(2x + 1) \cdot 2 = 8x + 4.$

Sprawdzenie na wzorze z kroku 1: $(4x^2 + 4x - 2)' = 8x + 4$ - zgadza się.

Krok 4. Pochodna $h_2$. Zewnętrzna $g(u) = 2u + 1$, $g'(u) = 2$; wewnętrzna $f(x) = x^2 - 3$, $f'(x) = 2x$:

$h_2'(x) = g'\big(f(x)\big) \cdot f'(x) = 2 \cdot 2x = 4x.$

Sprawdzenie: $(2x^2 - 5)' = 4x$.

Krok 5. Wartości w punkcie $x = 1$. $h_1'(1) = 12$, $h_2'(1) = 4$.

Odpowiedź. a) $h_1(x) = 4x^2 + 4x - 2$, $h_2(x) = 2x^2 - 5$; b) $h_1'(x) = 8x + 4$, $h_2'(x) = 4x$, $h_1'(1) = 12$, $h_2'(1) = 4$.