Iloraz z potęgami - pochodna (2x − 1)³/(x + 1)² w postaci iloczynowej

Krok 1. Pochodne licznika i mianownika (reguła łańcuchowa).

$u = (2x - 1)^3, \quad u' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2,$

$v = (x + 1)^2, \quad v' = 2(x + 1) \cdot 1 = 2(x + 1).$

Krok 2. Wzór na iloraz.

$f'(x) = \frac{6(2x - 1)^2(x + 1)^2 - (2x - 1)^3 \cdot 2(x + 1)}{(x + 1)^4}.$

Krok 3. Wyłączamy wspólny czynnik - nie wymnażamy! Oba składniki licznika zawierają $(2x - 1)^2$ oraz $(x + 1)$:

$\text{licznik} = 2(2x - 1)^2(x + 1)\big[3(x + 1) - (2x - 1)\big] = 2(2x - 1)^2(x + 1)(x + 4).$

Krok 4. Skracamy przez $(x + 1)$ (wolno, bo $x \ne -1$):

$f'(x) = \frac{2(2x - 1)^2(x + 1)(x + 4)}{(x + 1)^4} = \frac{2(2x - 1)^2(x + 4)}{(x + 1)^3}.$

Krok 5. Miejsca zerowe pochodnej. Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem: $(2x - 1)^2 = 0$ daje $x = \frac{1}{2}$, a $x + 4 = 0$ daje $x = -4$. Obie liczby należą do dziedziny.

Krok 6. Wartość w punkcie.

$f'(0) = \frac{2 \cdot (-1)^2 \cdot 4}{1^3} = 8.$

Uwaga. Czynnik $(2x - 1)^2$ jest kwadratem, więc przy przejściu przez $x = \frac{1}{2}$ pochodna wprawdzie się zeruje, ale nie zmienia znaku - styczna jest tam pozioma, a mimo to ekstremum nie ma. Postać iloczynowa pozwala to zobaczyć od razu, a wymnożony licznik $8x^3 + 24x^2 - 30x + 8$ - już nie.

Odpowiedź. a) $f'(x) = \dfrac{2(2x - 1)^2(x + 4)}{(x + 1)^3}$; b) pochodna zeruje się dla $x = -4$ i $x = \frac{1}{2}$, $f'(0) = 8$.