Pochodna funkcji 4/(2x − 1)³ - potęga o wykładniku ujemnym

Krok 1. Dziedzina. Mianownik zeruje się dla $2x - 1 = 0$, czyli $x = \frac{1}{2}$. Zatem $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$.

Krok 2. Zapis potęgowy. Zamiast wzoru na iloraz zapisujemy ułamek jako potęgę o wykładniku ujemnym:

$f(x) = 4(2x - 1)^{-3}.$

Krok 3. Reguła łańcuchowa. Zewnętrzna: $4u^{-3}$, pochodna $-12u^{-4}$. Wewnętrzna: $u = 2x - 1$, pochodna $2$:

$f'(x) = -12(2x - 1)^{-4} \cdot 2 = -\frac{24}{(2x - 1)^4}.$

Krok 4. Wartości w punktach.

$f'(1) = -\frac{24}{1^4} = -24, \qquad f'(0) = -\frac{24}{(-1)^4} = -24.$

Wyniki są równe, bo $(2x - 1)^4$ przyjmuje tę samą wartość $1$ w punktach symetrycznych względem $\frac{1}{2}$.

Krok 5. Znak pochodnej. Dla $x \ne \frac{1}{2}$ mianownik $(2x - 1)^4$ jest dodatni (parzysta potęga liczby różnej od zera), więc $f'(x) < 0$ w całej dziedzinie. Funkcja maleje zatem na przedziale $\left(-\infty;\ \frac{1}{2}\right)$ i na przedziale $\left(\frac{1}{2};\ +\infty\right)$ - każdym osobno. Nie piszemy, że maleje na sumie tych przedziałów: $f(0) = -4 < f(1) = 4$.

Odpowiedź. a) $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$, $f'(x) = -\dfrac{24}{(2x - 1)^4}$; b) $f'(1) = f'(0) = -24$; c) $f'(x) < 0$ w całej dziedzinie, więc $f$ maleje w każdym z dwóch przedziałów.