Pochodna pierwiastka z trójmianu √(x² − 6x + 10) i jej miejsce zerowe

Krok 1. Dziedzina. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Trójmian $x^2 - 6x + 10$ ma $\Delta = 36 - 40 = -4 < 0$ i dodatni współczynnik przy $x^2$, więc jest zawsze dodatni (najmniejsza wartość to $1$, dla $x = 3$). Zatem $D_f = \mathbb{R}$, a pochodna istnieje w każdym punkcie (pierwiastek nie ma pochodnej tylko tam, gdzie wyrażenie pod nim jest zerem).

Krok 2. Rozkład. Zewnętrzna: $\sqrt{u}$, pochodna $\frac{1}{2\sqrt{u}}$. Wewnętrzna: $u = x^2 - 6x + 10$, pochodna $2x - 6$.

Krok 3. Reguła łańcuchowa.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x + 10}} \cdot (2x - 6) = \frac{2(x - 3)}{2\sqrt{x^2 - 6x + 10}} = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}}.$

Krok 4. Wartość w punkcie $x = 4$. Pod pierwiastkiem: $16 - 24 + 10 = 2$, więc

$f'(4) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Krok 5. Miejsce zerowe pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc $f'(x) = 0 \iff x - 3 = 0$, czyli $x = 3$. To dokładnie punkt, w którym trójmian pod pierwiastkiem osiąga najmniejszą wartość - pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc $f$ ma tam swoją najmniejszą wartość $f(3) = 1$.

Odpowiedź. a) $D_f = \mathbb{R}$, $f'(x) = \dfrac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}}$; b) $f'(4) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, pochodna zeruje się dla $x = 3$.