Iloczyn i pierwiastek - pochodna funkcji x²√(4 − x)

Krok 1. Dziedzina. Pod pierwiastkiem $4 - x \geq 0$, czyli $x \leq 4$: $D_f = (-\infty;\ 4\rangle$. Pochodna pierwiastka $\sqrt{u}$ wymaga $u > 0$, więc $f'$ liczymy dla $x < 4$.

Krok 2. Najbardziej zewnętrzna operacja to iloczyn. $u = x^2$, $u' = 2x$; $v = \sqrt{4 - x}$. Pochodną $v$ liczymy z reguły łańcuchowej (wewnętrzna $4 - x$ ma pochodną $-1$):

$v' = \frac{1}{2\sqrt{4 - x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{4 - x}}.$

Krok 3. Wzór na iloczyn.

$f'(x) = 2x\sqrt{4 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{4 - x}}.$

Krok 4. Wspólny mianownik $2\sqrt{4 - x}$. Pierwszy składnik mnożymy przez $\frac{2\sqrt{4 - x}}{2\sqrt{4 - x}}$, korzystając z $\sqrt{4 - x} \cdot \sqrt{4 - x} = 4 - x$:

$f'(x) = \frac{4x(4 - x) - x^2}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{16x - 5x^2}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{x(16 - 5x)}{2\sqrt{4 - x}}.$

Krok 5. Wartość w punkcie $x = 3$. $\sqrt{4 - 3} = 1$, więc

$f'(3) = \frac{3 \cdot (16 - 15)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}.$

Krok 6. Miejsca zerowe pochodnej. Licznik $x(16 - 5x)$ zeruje się dla $x = 0$ i $x = \frac{16}{5}$. Obie liczby są mniejsze od $4$, więc należą do zbioru, w którym pochodna istnieje.

Odpowiedź. a) $D_f = (-\infty;\ 4\rangle$, pochodna istnieje dla $x < 4$; b) $f'(x) = \dfrac{x(16 - 5x)}{2\sqrt{4 - x}}$; c) $f'(3) = \dfrac{3}{2}$, miejsca zerowe pochodnej: $x = 0$ i $x = \dfrac{16}{5}$.