Sześć osób w kolejce - prawdopodobieństwo, że dwie wybrane osoby stoją obok siebie

Krok 1. Przestrzeń. Ustawienie sześciu osób w kolejce to permutacja:

$|\Omega| = 6! = 720.$

Krok 2. Sklejamy Anię i Bartka. Niech $A$ - „Ania i Bartek stoją obok siebie”. Traktujemy ich jak jeden „blok”. Wtedy ustawiamy $5$ obiektów (blok i cztery pozostałe osoby) - na $5!$ sposobów. Wewnątrz bloku Ania może stać przed Bartkiem albo za nim - $2$ sposoby:

$|A| = 2 \cdot 5! = 2 \cdot 120 = 240.$

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$P(A) = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}.$

Sprawdzenie innym sposobem. Patrzymy tylko na miejsca Ani i Bartka. Parę miejsc dla nich można wybrać na $\binom{6}{2} = 15$ sposobów, a sąsiednich par miejsc jest $5$ ($1$-$2$, $2$-$3$, …, $5$-$6$). Stąd $P(A) = \tfrac{5}{15} = \tfrac{1}{3}$.

Uwaga o pułapce. Pominięcie czynnika $2$ (zamiany Ani i Bartka w bloku) daje $\tfrac{1}{6}$.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{1}{3}$.