Prostokąt: przekątna 13, jeden bok o 7 dłuższy - równanie kwadratowe

Krok 1. Oznaczenia. Krótszy bok to $x$ (gdzie $x > 0$), dłuższy to $x + 7$.

Krok 2. Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie utworzonym przez dwa boki i przekątną:

$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2.$

Krok 3. Porządkujemy równanie.

$x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 14x - 120 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 7x - 60 = 0.$

Krok 4. Rozwiązujemy.

$\Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289, \qquad \sqrt{\Delta} = 17,$

$x_1 = \frac{-7 - 17}{2} = -12, \qquad x_2 = \frac{-7 + 17}{2} = 5.$

Długość boku musi być dodatnia, więc odrzucamy $x_1 = -12$. Zostaje $x = 5$.

Krok 5. Boki, pole, obwód. Boki mają długości $5$ i $12$ (sprawdzenie: $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$).

$P = 5 \cdot 12 = 60, \qquad L = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 12 = 34.$

Odpowiedź. Boki mają długości $5$ i $12$, pole wynosi $60$, a obwód $34$.