Przekątna prostokąta 8 pod kątem 30° do boku - pole prostokąta

Krok 1. Trójkąt prostokątny. Trójkąt $ABC$ ma kąt prosty przy wierzchołku $B$, przeciwprostokątną $AC = 8$ i kąt ostry $30^\circ$ przy wierzchołku $A$.

Krok 2. Bok $BC$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$, więc korzystamy z sinusa:

$|BC| = 8 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4.$

Krok 3. Bok $AB$ przylega do kąta $30^\circ$, więc korzystamy z cosinusa:

$|AB| = 8 \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}.$

Sprawdzenie Pitagorasem: $4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2$. Dłuższy jest rzeczywiście bok $AB$, bo $4\sqrt{3} \approx 6{,}93 > 4$.

Krok 4. Pole i obwód.

$P = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3} \approx 27{,}71, \qquad L = 2 \cdot 4\sqrt{3} + 2 \cdot 4 = 8\sqrt{3} + 8.$

Odpowiedź. Boki mają długości $4\sqrt{3}$ i $4$, pole wynosi $16\sqrt{3}$, a obwód $8 + 8\sqrt{3}$.