Jak daleko widać horyzont - zastosowanie twierdzenia

Krok 1. Model. Promień widzenia do horyzontu jest styczny do powierzchni Ziemi - to styczna $PA$ z punktu $P$ (oczy obserwatora). Prosta pionowa przez obserwatora przechodzi przez środek Ziemi, więc jest sieczną przez środek:

• część zewnętrzna: $|PB| = h = 0{,}1$ km (wysokość),
• cała sieczna: $|PC| = h + 2R = 0{,}1 + 12\,742 = 12\,742{,}1$ km.

Krok 2. Twierdzenie o stycznej i siecznej.

$|PA|^2 = |PB| \cdot |PC| = 0{,}1 \cdot 12\,742{,}1 = 1274{,}21.$

Krok 3. Pierwiastek.

$|PA| = \sqrt{1274{,}21} \approx 35{,}7 \text{ km}.$

Wzór przybliżony. Ponieważ $h$ jest znikome wobec $2R$, $|PA|^2 = h(h + 2R) \approx 2Rh$, czyli $|PA| \approx \sqrt{2Rh}$. Z wysokości $1{,}7$ m (człowiek na plaży) wychodzi około $4{,}7$ km. Odległość rośnie jak pierwiastek z wysokości - żeby widzieć dwa razy dalej, trzeba wejść cztery razy wyżej.

Odpowiedź. Horyzont jest odległy o około $35{,}7$ km.