Wykres W(x) = x⁴ − 2x³ − 3x² + 4x + 4 i nierówność W(x) > 4

Krok 1. Kwadrat trójmianu. Podnosimy do kwadratu, mnożąc każdy wyraz przez każdy:

$(x^2 - x - 2)^2 = x^4 + x^2 + 4 - 2x^3 - 4x^2 + 4x = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4.$

Wynik to dokładnie $W(x)$.

Krok 2. Postać iloczynowa. Trójmian $x^2 - x - 2$ ma pierwiastki $-1$ i $2$ ($\Delta = 1 + 8 = 9$), więc

$W(x) = \big((x + 1)(x - 2)\big)^2 = (x + 1)^2(x - 2)^2.$

Krok 3. Szkic. Stopień $4$, $a = 1 > 0$ - oba końce w górę. Oba miejsca zerowe, $-1$ i $2$, są podwójne, więc wykres dotyka osi w obu punktach i nigdzie nie schodzi pod oś ($W(x) \ge 0$ jako kwadrat). Punkt na osi $OY$: $W(0) = 4$. Trójmian $x^2 - x - 2$ jest symetryczny względem $x = \tfrac{1}{2}$, więc wykres też - górka leży w $W\big(\tfrac{1}{2}\big) = \big(-\tfrac{9}{4}\big)^2 = \tfrac{81}{16}$.

Krok 4. Nierówność jako różnica kwadratów.

$W(x) - 4 = (x^2 - x - 2)^2 - 2^2 = (x^2 - x - 4)(x^2 - x) > 0.$

Krok 5. Pierwiastki czynników. $x^2 - x = x(x - 1)$ daje $0$ i $1$. Dla $x^2 - x - 4$: $\Delta = 1 + 16 = 17$,

$x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1{,}56, \qquad x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2{,}56.$

Krok 6. Wężyk. Cztery pojedyncze pierwiastki w kolejności $\tfrac{1 - \sqrt{17}}{2} < 0 < 1 < \tfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$, wyraz wiodący $x^4$ - start nad osią. Znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$, $+$. Szukamy wartości dodatnich (bez pierwiastków).

Na wykresie to fragmenty powyżej prostej $y = 4$: oba „ramiona” oraz górka między $0$ a $1$.

Uwaga: odpowiedź „$W(x) > 4$ poza miejscami zerowymi” jest błędna - górka ma wysokość tylko $\tfrac{81}{16} \approx 5{,}06$, a prosta $y = 4$ przecina wykres aż w czterech punktach.

Odpowiedź. b) $x \in \left(-\infty;\ \tfrac{1 - \sqrt{17}}{2}\right) \cup (0;\ 1) \cup \left(\tfrac{1 + \sqrt{17}}{2};\ +\infty\right)$.