Wykres W(x) = x³ − 4x² − x + 4 i nierówność W(x) ≤ 4

Krok 1. Pierwiastek. Suma współczynników $1 - 4 - 1 + 4 = 0$, więc $W(1) = 0$.

Krok 2. Schemat Hornera dla $a = 1$.

$W(x) = (x - 1)(x^2 - 3x - 4) = (x - 1)(x - 4)(x + 1),$

bo trójmian $x^2 - 3x - 4$ ma pierwiastki $-1$ i $4$ ($\Delta = 9 + 16 = 25$). Ten sam rozkład daje grupowanie: $x^2(x - 4) - (x - 4) = (x - 4)(x^2 - 1)$.

Krok 3. Szkic. Stopień $3$, $a = 1 > 0$: lewy koniec w dole, prawy w górze. Trzy pojedyncze miejsca zerowe $-1$, $1$, $4$ (przecięcia), punkt na osi $OY$: $W(0) = 4$.

Krok 4. Odpowiedź do b). Wykres leży nad osią między $-1$ a $1$ oraz na prawo od $4$:

$W(x) > 0 \iff x \in (-1;\ 1) \cup (4;\ +\infty).$

Krok 5. Nierówność $W(x) \le 4$. Przenosimy $4$ na lewą stronę:

$x^3 - 4x^2 - x \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^2 - 4x - 1) \le 0.$

Dla trójmianu: $\Delta = 16 + 4 = 20$, $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5}$,

$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5}, \qquad x_2 = 2 + \sqrt{5}.$

Krok 6. Wężyk. Pierwiastki w kolejności: $2 - \sqrt{5} \approx -0{,}24$, potem $0$, potem $2 + \sqrt{5} \approx 4{,}24$ - wszystkie pojedyncze, $a = 1 > 0$. Wartości niedodatnie: na lewo od $2 - \sqrt{5}$ oraz między $0$ a $2 + \sqrt{5}$, z pierwiastkami włącznie.

Krok 7. Interpretacja. To dokładnie te $x$, dla których wykres $W$ leży nie wyżej niż prosta $y = 4$ (przerywana linia na rysunku). Prosta przecina wykres w punktach o odciętych $2 - \sqrt{5}$, $0$ i $2 + \sqrt{5}$.

Uwaga: liczba $2 - \sqrt{5}$ jest ujemna, więc w porządku na osi stoi przed zerem - pomylenie kolejności pierwiastków przestawia cały wężyk.

Odpowiedź. a) $W(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 4)$; b) $x \in (-1;\ 1) \cup (4;\ +\infty)$; c) $x \in (-\infty;\ 2 - \sqrt{5}\rangle \cup \langle 0;\ 2 + \sqrt{5}\rangle$.