Romb o obwodzie 68 i sumie przekątnych 46 - pole bez liczenia przekątnych

Krok 1. Bok. Romb ma cztery równe boki: $a = \frac{68}{4} = 17$.

Krok 2. Związek przekątnych z bokiem. Przekątne $e$ i $f$ rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc połówki $\frac{e}{2}$ i $\frac{f}{2}$ są przyprostokątnymi trójkąta o przeciwprostokątnej $17$:

$$\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2 = 17^2 \quad\Longrightarrow\quad e^2 + f^2 = 4 \cdot 289 = 1156.$$

Krok 3. Pole bez wyznaczania przekątnych. Podnosimy do kwadratu sumę $e + f = 46$:

$$(e + f)^2 = e^2 + 2ef + f^2 \quad\Longrightarrow\quad 2116 = 1156 + 2ef \quad\Longrightarrow\quad ef = 480.$$

Pole rombu to połowa iloczynu przekątnych:

$$P = \frac{ef}{2} = \frac{480}{2} = 240.$$

Krok 4. Przekątne. Liczby $e$ i $f$ mają sumę $46$ i iloczyn $480$, więc są pierwiastkami równania $t^2 - 46t + 480 = 0$:

$$\Delta = 2116 - 1920 = 196, \qquad t_1 = \frac{46 - 14}{2} = 16, \qquad t_2 = \frac{46 + 14}{2} = 30.$$

Sprawdzenie: połówki $8$ i $15$ dają bok $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

Krok 5. Wysokość i sinus kąta. Romb jest równoległobokiem, więc $P = a \cdot h$ oraz $P = a^2 \sin\alpha$:

$$h = \frac{240}{17} \approx 14{,}12, \qquad \sin\alpha = \frac{240}{17^2} = \frac{240}{289} \approx 0{,}83.$$

Częsty błąd: przyjęcie, że $e^2 + f^2 = 17^2$ - zapomina się, że bok tworzą połówki przekątnych.

Odpowiedź. Pole rombu wynosi $240$, przekątne mają długości $16$ i $30$, wysokość $\frac{240}{17}$, a sinus kąta ostrego $\frac{240}{289}$.