Romb o boku 6 i kącie 60° - pole i długości obu przekątnych

Krok 1. Pole. Romb jest równoległobokiem o równych bokach, więc $P = a^2 \sin\alpha$:

$P = 6^2 \cdot \sin 60^\circ = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \approx 31{,}18.$

Krok 2. Krótsza przekątna $BD$. Trójkąt $ABD$ ma dwa boki równe $6$ (boki rombu) i kąt $60^\circ$ między nimi. Kąty przy podstawie są więc równe $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ - trójkąt jest równoboczny. Zatem

$|BD| = 6.$

Krok 3. Dłuższa przekątna $AC$. Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Połowa $AC$ jest przyprostokątną trójkąta o przeciwprostokątnej $6$ i drugiej przyprostokątnej $3$:

$\left(\tfrac{|AC|}{2}\right)^2 = 6^2 - 3^2 = 27 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{|AC|}{2} = 3\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad |AC| = 6\sqrt{3}.$

Krok 4. Sprawdzenie wzorem na pole z przekątnych:

$P = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}.$

Odpowiedź. Pole rombu wynosi $18\sqrt{3}$, a przekątne mają długości $6$ i $6\sqrt{3}$.