Przekątne równoległoboku z twierdzenia cosinusów - boki 8 i 5, kąt 60°

Krok 1. Kąty równoległoboku. Kąty sąsiednie sumują się do $180^\circ$, więc $|\angle ABC| = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Krok 2. Krótsza przekątna $BD$ leży w trójkącie $ABD$ naprzeciw kąta $60^\circ$. Twierdzenie cosinusów:

$|BD|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 49,$

$|BD| = 7.$

Krok 3. Dłuższa przekątna $AC$ leży w trójkącie $ABC$ naprzeciw kąta $120^\circ$ (bok $BC$ ma długość $5$, tak jak $AD$). Ponieważ $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$:

$|AC|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 89 + 40 = 129,$

$|AC| = \sqrt{129} \approx 11{,}36.$

Krok 4. Sprawdzenie. W każdym równoległoboku suma kwadratów przekątnych równa się sumie kwadratów wszystkich boków: $49 + 129 = 178$ oraz $2 \cdot (8^2 + 5^2) = 2 \cdot 89 = 178$.

Krok 5. Pole.

$P = 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}64.$

Odpowiedź. Przekątne mają długości $7$ i $\sqrt{129}$, a pole wynosi $20\sqrt{3}$.