Suma kwadratów przekątnych równoległoboku: boki 4 i 7, przekątna 7 - druga przekątna i pole

Krok 1. Związek przekątnych z bokami. Dla każdego równoległoboku o bokach $a$, $b$ i przekątnych $d_1$, $d_2$:

$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$$

Skąd to? Kąty $A$ i $B$ sumują się do $180^\circ$, więc $\cos B = -\cos A$. Z twierdzenia cosinusów $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos A$ oraz $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos B = a^2 + b^2 + 2ab\cos A$. Po dodaniu wyrazy z cosinusem się znoszą.

Krok 2. Druga przekątna.

$$7^2 + d_2^2 = 2(7^2 + 4^2) = 2 \cdot 65 = 130 \quad\Longrightarrow\quad d_2^2 = 81, \quad d_2 = 9.$$

Krok 3. Pole. Przekątna $BD$ dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty o bokach $7$, $4$, $7$. Pole trójkąta $ABD$ ze wzoru Herona: połowa obwodu $s = \frac{7 + 4 + 7}{2} = 9$,

$$P_{ABD} = \sqrt{9 \cdot (9 - 7) \cdot (9 - 4) \cdot (9 - 7)} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$$

Pole równoległoboku jest dwa razy większe:

$$P = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83.$$

Krok 4. Sprawdzenie drugą przekątną. Trójkąt $ABC$ ma boki $7$, $4$, $9$ i $s = 10$: $\sqrt{10 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ - to samo pole, więc druga przekątna się zgadza.

Częsty błąd: liczenie pola jako $\frac{d_1 \cdot d_2}{2} = 31{,}5$. Ten wzór działa tylko przy prostopadłych przekątnych, a w tym równoległoboku nie są one prostopadłe.

Odpowiedź. Druga przekątna ma długość $9$, a pole równoległoboku wynosi $12\sqrt{5}$.