Kiedy czworokąt jest równoległobokiem? Pięć warunków - prawda czy fałsz

Krok 1. Punkt a) - tak. Poprowadźmy przekątną $AC$. Trójkąty $ABC$ i $CDA$ mają wspólny bok $AC$, $|AB| = |CD|$ oraz $\angle BAC = \angle DCA$ (kąty naprzemianległe przy $AB \parallel CD$). Są więc przystające (cecha bkb). Stąd $\angle BCA = \angle DAC$, a te kąty są naprzemianległe przy prostych $BC$ i $AD$ - zatem $BC \parallel AD$. Obie pary boków są równoległe.

Krok 2. Punkt b) - nie. Kontrprzykładem jest trapez równoramienny: jedna para boków równoległa, ramiona równe, a ramiona nie są równoległe.

Krok 3. Punkt c) - tak. Niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych, $|AS| = |SC|$ i $|BS| = |SD|$. Trójkąty $ASB$ i $CSD$ są przystające (cecha bkb: kąty przy $S$ są wierzchołkowe). Stąd $|AB| = |CD|$ i $\angle BAS = \angle DCS$, czyli $AB \parallel CD$. To jest sytuacja z punktu a), więc $ABCD$ jest równoległobokiem.

Krok 4. Punkt d) - tak. Oznaczmy $|\angle A| = |\angle C| = \alpha$, $|\angle B| = |\angle D| = \beta$. Suma kątów czworokąta:

$$2\alpha + 2\beta = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha + \beta = 180^\circ.$$

Kąty $A$ i $B$ przy boku $AB$ sumują się do $180^\circ$ (są jednostronne), więc $AD \parallel BC$. Tak samo kąty $A$ i $D$ przy boku $AD$ dają $AB \parallel CD$.

Krok 5. Punkt e) - nie. Przekątne prostopadłe ma np. deltoid, który zwykle nie ma żadnej pary boków równoległych.

Zapamiętaj: do równoległoboku wystarczy jedna para boków równych i równoległych albo przekątne dzielące się na połowy. Jedna para równoległych i druga para równych - nie wystarczy.

Odpowiedź. Równoległobokiem musi być czworokąt z punktów a), c) i d); warunki b) i e) nie wystarczą (kontrprzykłady: trapez równoramienny i deltoid).