Przekrój stożka płaszczyzną przez wierzchołek - czy osiowy ma największe pole

Krok 1. Długość cięciwy. W podstawie trójkąt $OMB$ jest prostokątny ($OM \perp AB$), a $|OB| = 5$:

$$|MB| = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4, \qquad |AB| = 8.$$

Krok 2. Wysokość trójkąta $ABS$. Ramiona $SA$ i $SB$ to tworzące, więc trójkąt jest równoramienny, a jego wysokość to $SM$. Odcinek $SO$ jest prostopadły do całej podstawy, więc trójkąt $SOM$ jest prostokątny z kątem prostym przy $O$:

$$|SM| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$$

Krok 3. Pola.

$$P_{ABS} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20, \qquad P_{\text{osiowy}} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20.$$

Pola są równe, choć trójkąty są różne.

Krok 4. Pole przekroju jako funkcja odległości. Dla cięciwy w odległości $d \in \langle 0;\ 5)$ od środka te same rachunki dają

$$P(d) = \sqrt{25 - d^2} \cdot \sqrt{16 + d^2}, \qquad P(d)^2 = (25 - d^2)(16 + d^2) = 400 + 9d^2 - d^4.$$

Dla $0 < d < 3$ mamy $9d^2 - d^4 = d^2(9 - d^2) > 0$, więc $P(d) > 20$. Na przykład dla $d^2 = 4{,}5$ (wierzchołek paraboli $400 + 9t - t^2$, gdzie $t = d^2$) wychodzi $P^2 = 420{,}25$, czyli $P = 20{,}5$.

Krok 5. Skąd to się bierze. Pole trójkąta o ramionach długości $l$ i kącie $\varphi$ między nimi to $\frac{1}{2} l^2 \sin\varphi$. Tworzące mają zawsze $l = \sqrt{41}$, zmienia się tylko kąt przy wierzchołku. Kąt rozwarcia tego stożka jest rozwarty ($2\,\text{arctg}\,\frac{5}{4} \approx 102{,}7^\circ$), więc gdzieś pomiędzy przekrojem osiowym a „cienkim” przekrojem trafiamy na kąt prosty i pole $\frac{1}{2} \cdot 41 \cdot 1 = 20{,}5$ - największe możliwe.

Odpowiedź. a) Pole przekroju $ABS$ wynosi $20$ - tyle samo co pole przekroju osiowego. b) Na przykład przekrój z cięciwą odległą o $\sqrt{4{,}5}$ od środka ma pole $20{,}5 > 20$.

Wniosek. Przekrój osiowy ma największe pole tylko w stożku o kącie rozwarcia co najwyżej $90^\circ$. Kąt rozwarcia omawia lekcja stożek.