Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka - kąt wycinka koła

Krok 1. Długość łuku wycinka. Łuk owija się dookoła podstawy stożka, więc ma długość jej obwodu:

$2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi.$

Krok 2. Kąt wycinka. Promień wycinka to tworząca $l = 9$. Pełny okrąg o promieniu $9$ ma długość $18\pi$, a łuk to jego część:

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{6\pi}{18\pi} = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 120^\circ.$

Krócej: $\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ = \frac{3}{9} \cdot 360^\circ$.

Krok 3. Pole powierzchni bocznej. Wycinek to trzecia część koła o promieniu $9$:

$P_b = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81 = 27\pi,$

co zgadza się ze wzorem $P_b = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 9 = 27\pi$.

Krok 4. Objętość. Najpierw wysokość:

$H = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}, \qquad V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\,\pi.$

Odpowiedź. $\alpha = 120^\circ$, $P_b = 27\pi$, $V = 18\sqrt{2}\,\pi$.