Odcinek dzielący trapez na dwa trapezy podobne - podstawy 16 i 9, wysokość 14

Krok 1. Odpowiadające podstawy. Górny trapez ma podstawy $9$ i $x = |XY|$, dolny - $x$ i $16$. W podobieństwie krótsza podstawa przechodzi na krótszą, a dłuższa na dłuższą, więc $9 \to x$ oraz $x \to 16$. Skala (dolny względem górnego) to

$k = \frac{x}{9} = \frac{16}{x}.$

Krok 2. Długość odcinka.

$x^2 = 9 \cdot 16 = 144 \quad\Longrightarrow\quad x = 12, \qquad k = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}.$

Odcinek $XY$ jest więc średnią geometryczną podstaw: $x = \sqrt{ab}$.

Krok 3. Wysokości. W figurach podobnych wszystkie odcinki - także wysokości - mają się jak $k$. Jeśli górny trapez ma wysokość $h_g$, a dolny $h_d$, to

$\frac{h_d}{h_g} = \frac{4}{3}, \qquad h_g + h_d = 14 \quad\Longrightarrow\quad h_g = 6, \quad h_d = 8.$

Krok 4. Czy to naprawdę działa? Odcinek równoległy do podstaw na wysokości $8$ nad $AB$ ma długość (zmienia się liniowo od $16$ do $9$ na wysokości $14$)

$16 - (16 - 9) \cdot \frac{8}{14} = 16 - 4 = 12.$

Zgadza się z krokiem 2. Kąty obu trapezów są równe, bo $XY \parallel AB \parallel CD$ (kąty odpowiadające przy ramionach), a ramiona dzielą się w stosunku $|DX| : |XA| = 6 : 8 = 3 : 4$ - tak samo jak podstawy. Oba warunki podobieństwa wielokątów są spełnione.

Krok 5. Pola.

$P_g = \frac{9 + 12}{2} \cdot 6 = 63, \qquad P_d = \frac{12 + 16}{2} \cdot 8 = 112.$

Sprawdzenie: $63 + 112 = 175 = \frac{16 + 9}{2} \cdot 14$, a $\frac{112}{63} = \frac{16}{9} = k^2$.

Pułapka: odcinek dzielący trapez na dwa trapezy podobne to nie linia środkowa. Linia środkowa ma długość $\frac{16 + 9}{2} = 12{,}5$ i dzieli wysokość na połowy, a powstałe trapezy (podstawy $9$ i $12{,}5$ oraz $12{,}5$ i $16$) podobne nie są, bo $\frac{12{,}5}{9} \ne \frac{16}{12{,}5}$.

Odpowiedź. $|XY| = 12$; górny trapez ma wysokość $6$ i pole $63$, dolny - wysokość $8$ i pole $112$.