Czy romb jest podobny do kwadratu? Dwa romby i kwadrat - kąty i boki

Krok 1. Warunek podobieństwa wielokątów. Dwa wielokąty są podobne, gdy mają odpowiednio równe kąty i proporcjonalne boki. Dla trójkątów jeden z tych warunków pociąga drugi, dla czworokątów - nie. Trzeba sprawdzić oba.

Krok 2. Boki. Każdy romb i kwadrat ma cztery równe boki, więc boki dowolnych dwóch z tych figur są zawsze proporcjonalne. O podobieństwie decydują kąty.

Krok 3. Kąty rombu I i rombu II. W rombie kąty sąsiednie sumują się do $180^\circ$, a przeciwległe są równe. Romb I ma kąty $70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ$. Romb II ma kąt $110^\circ$, więc pozostałe to $70^\circ, 110^\circ, 70^\circ$ - te same kąty. Romby I i II są podobne, w skali

$k = \frac{8}{5} = 1{,}6.$

Nic nie szkodzi, że w treści podano dla każdego rombu inny kąt: oba opisują ten sam kształt, tylko narysowany od innego wierzchołka.

Krok 4. Romb a kwadrat. Kwadrat ma wszystkie kąty po $90^\circ$, romby - $70^\circ$ i $110^\circ$. Kąty się nie zgadzają, więc ani romb I, ani romb II nie jest podobny do kwadratu III - choć romb I ma dokładnie te same boki co kwadrat (skala boków $1$).

Krok 5. Pola (punkt b). Pole rombu to $a^2 \sin\alpha$, a $\sin 110^\circ = \sin 70^\circ$:

$P_{\mathrm{I}} = 25\sin 70^\circ \approx 23{,}49, \qquad P_{\mathrm{II}} = 64\sin 110^\circ = 64\sin 70^\circ \approx 60{,}14.$

$\frac{P_{\mathrm{II}}}{P_{\mathrm{I}}} = \frac{64\sin 70^\circ}{25\sin 70^\circ} = \frac{64}{25} = 2{,}56 = 1{,}6^2 = k^2.$

Przy okazji: kwadrat III ma pole $25$, a romb I - około $23{,}49$, choć boki są te same. Figury o równych bokach i różnych kątach mają różne pola.

Odpowiedź. a) Podobne są tylko romby I i II, w skali $k = 1{,}6$ (II względem I); kwadrat nie jest podobny do żadnego z rombów. b) $\frac{P_{\mathrm{II}}}{P_{\mathrm{I}}} = \frac{64}{25} = 2{,}56 = k^2$.