Format A4 - dlaczego boki kartki są w stosunku √2 : 1 i jakie wymiary ma A0

Krok 1. Podobieństwo połówki (punkt a). Kartka ma boki $a > b$. Połówka ma boki $b$ i $\frac{a}{2}$, przy czym teraz dłuższy jest bok $b$ (bo $b > \frac{a}{2}$ - to wyjdzie z wyniku). Kąty są proste, więc podobieństwo oznacza równe stosunki dłuższego boku do krótszego:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{b} = \frac{2b}{a} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 2b^2 \quad\Longrightarrow\quad a = b\sqrt{2}.$

Sprawdzenie założenia: $\frac{a}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71b < b$. Skala podobieństwa połówki do całej kartki to $\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Krok 2. Wymiary A0 (punkt b). $a \cdot b = 1$ i $a = b\sqrt{2}$, więc

$b^2\sqrt{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \approx 0{,}8409\ \text{m}, \qquad a = b\sqrt{2} = \sqrt[4]{2} \approx 1{,}1892\ \text{m}.$

Arkusz A0 ma więc wymiary około $841\ \text{mm} \times 1189\ \text{mm}$ - dokładnie takie podaje norma.

Krok 3. Skala A4 względem A0 (punkt c). Każde przecięcie na pół to podobieństwo w skali $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Cztery przecięcia (A0 → A1 → A2 → A3 → A4) dają skalę

$k = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 = \frac{1}{4}.$

Krok 4. Wymiary i pole A4.

$841\ \text{mm} \cdot \tfrac{1}{4} \approx 210\ \text{mm}, \qquad 1189\ \text{mm} \cdot \tfrac{1}{4} \approx 297\ \text{mm}.$

Pole: $P = k^2 \cdot 1\ \text{m}^2 = \frac{1}{16}\ \text{m}^2 = 625\ \text{cm}^2$. Sprawdzenie z wymiarów: $21\ \text{cm} \cdot 29{,}7\ \text{cm} = 623{,}7\ \text{cm}^2$ - różnica bierze się z zaokrąglenia do milimetrów.

Częsty błąd: uznać, że A4 to $\frac{1}{4}$ arkusza A0, bo „cztery przecięcia”. Każde przecięcie połowi pole, więc A4 to $\frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$ pola A0. Ułamek $\frac{1}{4}$ to skala długości, nie pól.

Odpowiedź. a) Z podobieństwa $\frac{a}{b} = \frac{2b}{a}$ wynika $a = b\sqrt{2}$. b) A0: około $841\ \text{mm} \times 1189\ \text{mm}$. c) A4: około $210\ \text{mm} \times 297\ \text{mm}$, pole $\frac{1}{16}\ \text{m}^2 = 625\ \text{cm}^2$.