Prostokąt złoty - po odcięciu kwadratu zostaje prostokąt podobny

Krok 1. Oznaczenia. Dłuższy bok to $x$, gdzie $x > 6$. Po odcięciu kwadratu zostaje prostokąt o bokach $6$ i $x - 6$. Nie wiemy z góry, który z nich jest dłuższy - sprawdzimy to na końcu (dla $x - 6 < 6$ dłuższy jest bok $6$).

Krok 2. Proporcja. W prostokątach podobnych stosunek dłuższego boku do krótszego jest taki sam. W dużym prostokącie to $\frac{x}{6}$, w małym $\frac{6}{x - 6}$:

$\frac{x}{6} = \frac{6}{x - 6} \quad\Longrightarrow\quad x(x - 6) = 36 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 6x - 36 = 0.$

Krok 3. Równanie kwadratowe.

$\Delta = 36 + 144 = 180, \qquad \sqrt{\Delta} = 6\sqrt{5},$

$x_1 = \frac{6 - 6\sqrt{5}}{2} = 3 - 3\sqrt{5} < 0, \qquad x_2 = \frac{6 + 6\sqrt{5}}{2} = 3 + 3\sqrt{5} \approx 9{,}71.$

Długość jest dodatnia, więc $x = 3 + 3\sqrt{5}$.

Krok 4. Sprawdzenie założenia. Mały prostokąt ma boki $6$ i $x - 6 = 3\sqrt{5} - 3 \approx 3{,}71$, więc rzeczywiście dłuższy jest bok $6$ i proporcja z kroku 2 była dobrze ułożona.

Krok 5. Stosunek boków.

$\frac{x}{6} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{6} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618.$

To złoty stosunek (liczba $\varphi$), a taki prostokąt nazywa się prostokątem złotym. Od małego prostokąta też można odciąć kwadrat i znów zostanie prostokąt złoty - i tak bez końca.

Częsty błąd: ułożyć proporcję $\frac{x}{6} = \frac{x - 6}{6}$ (dłuższy do krótszego w jednym prostokącie, a krótszy do dłuższego w drugim). Wtedy wychodzi sprzeczność $x = x - 6$.

Odpowiedź. Dłuższy bok ma długość $3 + 3\sqrt{5} \approx 9{,}71$, a stosunek boków wynosi $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$.