Działka w kształcie trapezu na planie w skali 1 : 500 - wymiary, pole w arach, ogrodzenie

Krok 1. Skala. Skala $1 : 500$ znaczy, że $1\ \text{cm}$ na planie to $500\ \text{cm} = 5\ \text{m}$ w terenie. Działka jest figurą podobną do rysunku w skali $k = 500$.

Krok 2. Wymiary w terenie.

$12\ \text{cm} \to 60\ \text{m}, \qquad 8\ \text{cm} \to 40\ \text{m}, \qquad 6\ \text{cm} \to 30\ \text{m}.$

Krok 3. Pole z wymiarów rzeczywistych.

$P = \frac{60 + 40}{2} \cdot 30 = 50 \cdot 30 = 1500\ \text{m}^2.$

Jeden ar to $100\ \text{m}^2$, więc $P = 15\ \text{a}$.

Krok 4. To samo przez $k^2$. Pole na planie: $\frac{12 + 8}{2} \cdot 6 = 60\ \text{cm}^2$. Pola figur podobnych mają się jak $k^2 = 500^2 = 250\,000$:

$60\ \text{cm}^2 \cdot 250\,000 = 15\,000\,000\ \text{cm}^2 = 1500\ \text{m}^2,$

bo $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$. Wynik się zgadza.

Krok 5. Dłuższe ramię. Opuszczamy wysokość z końca krótszej podstawy. Odcina ona z dłuższej podstawy odcinek $60 - 40 = 20\ \text{m}$, a dłuższe ramię jest przeciwprostokątną:

$c = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13} \approx 36{,}06\ \text{m}.$

Krok 6. Ogrodzenie to obwód działki:

$L = 60 + 40 + 30 + 10\sqrt{13} = 130 + 10\sqrt{13} \approx 166{,}06\ \text{m}.$

Częsty błąd: pomnożyć pole z planu przez $500$ zamiast przez $500^2$ - wyszłoby $30\,000\ \text{cm}^2 = 3\ \text{m}^2$, czyli działka wielkości wycieraczki.

Odpowiedź. Działka ma podstawy $60\ \text{m}$ i $40\ \text{m}$, krótsze ramię $30\ \text{m}$ i dłuższe $10\sqrt{13} \approx 36{,}06\ \text{m}$; pole wynosi $1500\ \text{m}^2 = 15\ \text{a}$, a ogrodzenie ma długość około $166{,}06\ \text{m}$.