Ułamek piętrowy: (1/(x − 1) − 1/(x + 1)) : (1/(x − 1) + 1/(x + 1))

Krok 1. Piętro wyżej. Wspólny mianownik to $(x-1)(x+1)$:

$\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$

Krok 2. Piętro niżej. Ten sam wspólny mianownik:

$\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2x}{(x-1)(x+1)}$

Krok 3. Dziedzina. Małe mianowniki: $x \neq 1$, $x \neq -1$. Duży mianownik, czyli $\frac{2x}{(x-1)(x+1)}$, nie może być zerem, więc $x \neq 0$.

$D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$

Krok 4. Dzielenie - licznik razy odwrotność mianownika:

$\dfrac{2}{(x-1)(x+1)} \cdot \dfrac{(x-1)(x+1)}{2x} = \dfrac{1}{x}$

Krok 5. Sprawdzenie na liczbie. Dla $x = 2$: góra $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, dół $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, iloraz $\frac{2}{3} : \frac{4}{3} = \frac{1}{2}$ - tyle samo co $\frac{1}{x}$ dla $x = 2$.

Odpowiedź. $\dfrac{1}{x}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$.

Uwaga: warunek $x \neq 0$ nie bierze się z żadnego małego mianownika - dla $x = 0$ oba ułamki $\frac{1}{x-1}$ i $\frac{1}{x+1}$ istnieją (są równe $-1$ i $1$). Zeruje się dopiero ich suma, czyli dolne piętro. Ten warunek najłatwiej zgubić.