Wykaż, że wartość (x³ − 8)/(x² − 4) : (x + 4/(x + 2)) nie zależy od x

Krok 1. Dzielnik jako jeden ułamek.

$x + \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{x(x+2) + 4}{x+2} = \dfrac{x^2 + 2x + 4}{x+2}$

Krok 2. Dziedzina. Mianowniki $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ i $x + 2$ wykluczają $x = 2$ i $x = -2$. Dzielnik nie może być zerem, więc sprawdzamy jego licznik $x^2 + 2x + 4$:

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$

Trójmian nie ma miejsc zerowych (jest zawsze dodatni), więc ten warunek niczego nie wyklucza.

$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$

Krok 3. Różnica sześcianów w liczniku pierwszego ułamka:

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

Krok 4. Uproszczenie.

$\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{x+2}{x^2+2x+4} = 1$

Wszystkie czynniki się skróciły - wartość nie zależy od $x$.

Krok 5. Sprawdzenie na liczbie. Dla $x = 0$: $\ \frac{-8}{-4} : \left(0 + \frac{4}{2}\right) = 2 : 2 = 1$.

Odpowiedź. $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$, a dla każdego $x \in D$ wyrażenie jest równe $1$.

Uwaga: warunek „licznik dzielnika różny od zera” trzeba sprawdzić zawsze, nawet jeśli w końcu nic nie wyklucza. Tutaj trójmian $x^2 + 2x + 4$ to ten sam czynnik, który pojawia się w rozkładzie różnicy sześcianów - i właśnie dlatego nie da się go rozłożyć dalej.