Tożsamość: a²/((a − b)(a − c)) + b²/((b − a)(b − c)) + c²/((c − a)(c − b)) = 1

Krok 1. Dziedzina. Wszystkie mianowniki są iloczynami różnic $a - b$, $b - c$, $c - a$ (z dokładnością do znaku), więc są różne od zera wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są parami różne - dokładnie tak, jak zakłada treść.

Krok 2. Ujednolicamy czynniki. Zapisujemy każdy mianownik za pomocą trzech różnic $a - b$, $b - c$, $c - a$, korzystając z $x - y = -(y - x)$:

$(a-b)(a-c) = -(a-b)(c-a), \qquad (b-a)(b-c) = -(a-b)(b-c), \qquad (c-a)(c-b) = -(c-a)(b-c)$

Krok 3. Wspólny mianownik $M = (a-b)(b-c)(c-a)$. Każdy ułamek rozszerzamy o brakującą różnicę:

$L = -\dfrac{a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Krok 4. Licznik jako trójmian zmiennej $a$. Porządkujemy wyrazy według potęg $a$:

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b-c)$

Wyłączamy $(b - c)$, bo $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$:

$= (b-c)\left(a^2 - a(b+c) + bc\right) = (b-c)(a-b)(a-c)$

(trójmian $a^2 - (b+c)a + bc$ ma pierwiastki $b$ i $c$ - to wzory Viète’a).

Krok 5. Znak. Ponieważ $a - c = -(c - a)$, licznik to $-(a-b)(b-c)(c-a)$. Wracamy do $L$:

$L = -\dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1 = P$

Krok 6. Kontrola na liczbach. Dla $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$: $\ \frac{1}{(-1)(-2)} + \frac{4}{1 \cdot (-1)} + \frac{9}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} - 4 + \frac{9}{2} = 1$.

Odpowiedź. Lewa strona po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i rozłożeniu licznika na czynniki jest równa $1$, co należało wykazać.

Uwaga: najczęstszy błąd to przyjęcie za wspólny mianownik iloczynu wszystkich sześciu czynników. Czynniki $a - b$ i $b - a$ różnią się tylko znakiem, więc wystarczą trzy różnice - trzeba tylko pilnować minusów z kroku 2.