Wiadomo, że 1/a − 1/b = 2. Oblicz (2a + 3ab − 2b)/(a − 2ab − b)

Krok 1. Przekształcamy warunek. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika $ab$ i mnożymy obie strony przez $ab \neq 0$:

$\dfrac{b - a}{ab} = 2 \quad\Longrightarrow\quad b - a = 2ab \quad\Longrightarrow\quad a - b = -2ab$

Krok 2. Szukamy w wyrażeniu różnicy $a - b$. Grupujemy wyrazy:

$\dfrac{2a + 3ab - 2b}{a - 2ab - b} = \dfrac{2(a - b) + 3ab}{(a - b) - 2ab}$

Krok 3. Podstawiamy $a - b = -2ab$:

$\dfrac{2 \cdot (-2ab) + 3ab}{-2ab - 2ab} = \dfrac{-ab}{-4ab}$

Krok 4. Skracamy przez $ab$ - wolno, bo $ab \neq 0$. Z tego samego powodu mianownik $-4ab$ nie jest zerem, więc wyrażenie ma sens:

$\dfrac{-ab}{-4ab} = \dfrac{1}{4}$

Krok 5. Kontrola na liczbach. Warunek spełniają np. $a = 1$, $b = -1$ (bo $1 - (-1) = 2$). Wtedy licznik to $2 - 3 + 2 = 1$, mianownik $1 + 2 + 1 = 4$, a wartość $\frac{1}{4}$.

Odpowiedź. Wartość wyrażenia wynosi $\dfrac{1}{4}$.

Uwaga: nie trzeba (i nie da się) wyznaczyć osobno $a$ i $b$ - jeden warunek łączy dwie niewiadome, więc par $(a, b)$ jest nieskończenie wiele. Dla każdej z nich wynik jest ten sam.