Wartość wyrażenia (x² − 1)/(x² − 2x) : (x² + x)/(x² − 4) dla x = √2

Krok 1. Rozkład na czynniki.

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1), \qquad x^2 - 2x = x(x-2), \qquad x^2 + x = x(x+1), \qquad x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

Krok 2. Dziedzina. Mianowniki: $x(x-2) \neq 0$ i $(x-2)(x+2) \neq 0$, czyli $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$. Licznik dzielnika: $x(x+1) \neq 0$, czyli dodatkowo $x \neq -1$.

$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ -1,\ 0,\ 2\}$

Liczba $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ należy do dziedziny, więc wartość istnieje.

Krok 3. Uproszczenie. Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność i skracamy $x - 2$ oraz $x + 1$:

$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x-2)} \cdot \dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)} = \dfrac{(x-1)(x+2)}{x^2} = \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2}$

Krok 4. Podstawienie $x = \sqrt{2}$, czyli $x^2 = 2$:

$\dfrac{2 + \sqrt{2} - 2}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Odpowiedź. Dla $x = \sqrt{2}$ wartość wyrażenia wynosi $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Uwaga: podstawianie $\sqrt{2}$ do wyrażenia wyjściowego oznaczałoby cztery ułamki z niewymiernymi mianownikami, np. $\frac{1}{2 - 2\sqrt{2}}$, i usuwanie niewymierności. Po uproszczeniu wystarczy jedno podstawienie $x^2 = 2$.