Styczna do paraboli odcinająca z osiami trójkąt o najmniejszym polu

Krok 1. Równanie stycznej. Dla $f(x) = 9 - x^2$ mamy $f'(x) = -2x$, więc styczna w punkcie o odciętej $t$ (ze wzoru $y = f'(t)(x - t) + f(t)$ - patrz styczna do wykresu funkcji) to

$$y = -2t(x - t) + 9 - t^2 = -2tx + t^2 + 9.$$

Krok 2. Punkty przecięcia z osiami. Dla $x = 0$: $y = t^2 + 9$. Dla $y = 0$: $2tx = t^2 + 9$, czyli $x = \frac{t^2 + 9}{2t}$. Obie liczby są dodatnie dla $t > 0$, więc trójkąt leży w pierwszej ćwiartce, a jego przyprostokątne mają takie właśnie długości.

Krok 3. Funkcja celu.

$$S(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2 + 9}{2t} \cdot \left(t^2 + 9\right) = \frac{\left(t^2 + 9\right)^2}{4t}, \qquad t \in (0;\ 3).$$

Na rysunku (dla $t = 1$) styczna $y = -2x + 10$ odcina trójkąt o polu $\frac{5 \cdot 10}{2} = 25$ - zgadza się z $S(1) = \frac{100}{4} = 25$.

Krok 4. Pochodna. Z reguły ilorazu:

$$S'(t) = \frac{2\left(t^2 + 9\right) \cdot 2t \cdot 4t - \left(t^2 + 9\right)^2 \cdot 4}{16t^2}.$$

Wyłączamy przed nawias wspólny czynnik $4\left(t^2 + 9\right)$:

$$S'(t) = \frac{4\left(t^2 + 9\right)\left(4t^2 - t^2 - 9\right)}{16t^2} = \frac{\left(t^2 + 9\right)\left(3t^2 - 9\right)}{4t^2}.$$

Krok 5. Punkty krytyczne. $t^2 + 9 > 0$, więc $S'(t) = 0 \iff 3t^2 = 9 \iff t^2 = 3$. W dziedzinie: $t = \sqrt{3} \approx 1{,}73$.

Krok 6. Uzasadnienie. Znak $S'$ to znak $3t^2 - 9 = 3\left(t - \sqrt{3}\right)\left(t + \sqrt{3}\right)$: ujemny dla $0 < t < \sqrt{3}$ (pole maleje), dodatni dla $\sqrt{3} < t < 3$ (rośnie). W $t = \sqrt{3}$ pole jest najmniejsze w całej dziedzinie:

$$S\left(\sqrt{3}\right) = \frac{(3 + 9)^2}{4\sqrt{3}} = \frac{144}{4\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78.$$

Krok 7. Styczna. Dla $t = \sqrt{3}$: punkt styczności $P\left(\sqrt{3},\ 6\right)$, styczna $y = -2\sqrt{3}\,x + 12$. Odcina na osiach odcinki $12$ i $\frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$: pole $\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 12 = 12\sqrt{3}$ - zgadza się.

Odpowiedź. Pole jest najmniejsze dla $t = \sqrt{3}$ i wynosi $12\sqrt{3}$; styczna ma wtedy równanie $y = -2\sqrt{3}\,x + 12$.

Pułapka. Pytanie dotyczy wartości najmniejszej - przy $t \to 0^+$ styczna staje się prawie pozioma i pole rośnie nieograniczenie, a przy $t \to 3^-$ zbliża się do $S(3) = 27$. Wartości największej w przedziale $(0;\ 3)$ nie ma.