Podzielność sumy potęg: 5¹³+5¹⁴+5¹⁵ przez 31

Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik. Wyłączamy przed nawias najniższą z występujących potęg, czyli $5^{13}$ (korzystamy z tego, że $5^{14} = 5^{13} \cdot 5$ oraz $5^{15} = 5^{13} \cdot 5^2$):

$5^{13} + 5^{14} + 5^{15} = 5^{13} \cdot \left(1 + 5 + 5^2\right).$

Krok 2. Obliczamy nawias.

$1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31.$

Krok 3. Wniosek. Otrzymaliśmy

$5^{13} + 5^{14} + 5^{15} = 5^{13} \cdot 31.$

Iloczyn zawiera czynnik $31$, więc liczba jest podzielna przez $31$.

Odpowiedź. $5^{13} + 5^{14} + 5^{15} = 5^{13} \cdot 31$, zatem liczba jest podzielna przez $31$.