Parametr: dla jakiego m równanie (x + m)/(x − 2) = 3 nie ma rozwiązań?

Krok 1. Dziedzina nie zależy od parametru: $x - 2 \neq 0$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Krok 2. Rozwiązanie ogólne. Mnożymy obie strony przez $x - 2$:

$x + m = 3(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad x + m = 3x - 6 \quad\Longrightarrow\quad 2x = m + 6 \quad\Longrightarrow\quad x = \dfrac{m+6}{2}$

Krok 3. Część a). Dla $m = 4$: $\ x = \frac{4 + 6}{2} = 5$, a $5 \in D$. Sprawdzenie: $\frac{5 + 4}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$.

Krok 4. Część b) - kiedy kandydat wypada z dziedziny. Równanie liniowe z kroku 2 ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie. Równanie wymierne nie ma rozwiązań tylko wtedy, gdy to rozwiązanie jest liczbą $2$:

$\dfrac{m+6}{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad m + 6 = 4 \quad\Longrightarrow\quad m = -2$

Krok 5. Sprawdzenie dla $m = -2$. Równanie ma postać $\frac{x - 2}{x - 2} = 3$. Dla każdego $x \neq 2$ lewa strona jest równa $1$, a $1 \neq 3$ - rozwiązań nie ma.

Odpowiedź. a) $x = 5$. b) $m = -2$; dla każdego innego $m$ równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = \frac{m+6}{2}$.

Uwaga: równanie liniowe „po pomnożeniu” ma rozwiązanie dla każdego $m$, więc samo ono nigdy nie powie, że rozwiązań brak. Informację daje dopiero porównanie z dziedziną.