Ułamek równy zero: (x³ + 2x² − 9x − 18)/(x² + 5x + 6) = 0

Krok 1. Rozkład mianownika i dziedzina. Szukamy dwóch liczb o iloczynie $6$ i sumie $5$ - to $2$ i $3$:

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3), \qquad D = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ -2\}$

Krok 2. Ułamek jest zerem, gdy zerem jest licznik (a mianownik nie). Rozkładamy licznik grupowaniem wyrazów:

$x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 9) = (x + 2)(x - 3)(x + 3)$

Krok 3. Kandydaci. Licznik zeruje się dla $x = -2$, $x = 3$ i $x = -3$.

Krok 4. Porównanie z dziedziną. Liczby $-2$ i $-3$ zerują mianownik - odrzucamy je. Zostaje $x = 3$. Sprawdzenie: licznik $27 + 18 - 27 - 18 = 0$, mianownik $9 + 15 + 6 = 30 \neq 0$.

Odpowiedź. $x = 3$.

Uwaga: kusi, żeby od razu skrócić ułamek do $\frac{x - 3}{1}$ i odpowiedzieć „$x = 3$” - tu wynik byłby przypadkiem dobry, ale bez dziedziny nie wiadomo, czy $-2$ i $-3$ nie są rozwiązaniami. Nie są: dla nich równanie w ogóle nie ma sensu.